Die vorliegende Promotion behandelt die numerische Simulation von chemischen Reaktionssystemen. Chemische Reaktionssysteme treten in vielen verschiedenen Bereichen unseres Lebens auf. In manchen Bereichen wie der Biologie versuchen Wissenschaftler die auftretenden chemischen Reaktionen zu analysieren, um sie besser zu verstehen. In anderen Bereichen wie der chemischen Industrie liegt der Fokus oft auf der Optimierung, im Sinne der Produktivität oder der Sicherheit. Alle Fälle haben gemeinsam, dass die zeitliche Entwicklung der chemischen Reaktionssysteme durch Differentialgleichungen beschrieben wird. Die Herleitung der entsprechenden Differentialgleichungen ist in Kapitel 2 gegeben. Die auftretenden Differentialgleichungen sind im Allgemeinen große nichtlineare Systeme. Deshalb sind analytische Lösungen meistens nicht verfügbar und eine Näherungslösung wird am Computer durch numerische Integrationsmethoden berechnet. Dabei führen die Größe und die Steifheit der betreffenden Differentialgleichungen häufig zu einer unvorteilhaft langen Rechenzeit oder einem Überschreiten des verfügbaren Speicherplatzes. Daher haben zahlreiche Wissenschaftler Reduktionsmechanismen für chemische Reaktionssysteme entwickelt. Dabei wird ausgenutzt, dass es in chemischen Reaktionssystemen sowohl sehr langsame als auch sehr schnelle Prozesse gibt. Abhängig von der Diskretisierung können die Zeitskalen der schnellen Prozesse dabei die verwendete Zeitschrittweite deutlich unterschreiten. Daher werden die schnellen Prozesse durch ihr Gleichgewicht approximiert. Es ergeben sich algebraische Gleichungen, welche den Zustand des Systems beschreiben. Diese Gleichungen können verwendet werden, um die Dimension der Differentialgleichung zu reduzieren. Desweiteren sind die reduzierten Differentialgleichungen in vielen Fällen weniger steif. Eine Beschreibung der Annahme des partiellen Gleichgewichts einzelner Reaktionen oder des quasi-stationären Zustands einzelner chemischer Spezies befindet sich in Kapitel 3. Außerdem werden in dem betreffenden Kapitel häufig verwendete automatische Reduktionsmechanismen verschiedener Autoren zusammengefasst. Trotz der großen Beliebtheit von Reduktionsmechanismen gibt es einige Szenarien, in denen die in Kapitel 3 gelisteten Reduktionsmechanismen nicht anwendbar sind. So basieren sie zum größten Teil auf der Existenz einer niedrig-dimensionalen Mannigfaltigkeit, welche das Gleichgewicht der schnellen Prozesse beschreibt. Die Mannigfaltigkeit ist jedoch nicht immer niedrig-dimensional. Desweiteren hängt die Auswahl an schnellen Prozessen manchmal von Zeit und Ort ab. Deshalb kann die Dimension der reduzierten Differentialgleichung variieren. Dies führt zu zusätzlichen Problemen. Um trotzdem die Steifheit der betrachteten Differentialgleichung zu reduzieren, wird in Kapitel 4 ein neuer Ansatz eingeführt. Dieser Ansatz ist auch anwendbar, falls der Zustand des chemischen Reaktionssystems nicht durch eine Approximation auf einer niedrig-dimensionalen Mannigfaltigkeit angenähert werden kann oder die Anzahl der schnellen Prozesse in Zeit und Ort variabel ist. Dies wird erreicht, indem die Geschwindigkeit der schnellen Prozesse reduziert wird. Dieses Vorgehen unterscheidet sich somit grundlegend von vielen anderen Methoden, die durch die sofortige Annahme des Gleichgewichts aller schneller Prozesse die betreffende Geschwindigkeiten auf unendlich erhöhen. Durch die Reduktion der Steifheit kann in vielen Fällen das Lösen der Differentialgleichungen beschleunigt werden. Ein Bereich, in dem die Rechenzeit besonders wichtig ist, ist die Parameteridentifizierung. Die Geschwindigkeit jeder chemischen Reaktion wird durch mindestens einen Parameter beschrieben. Um unbekannte Parameter zu bestimmen, ist im Allgemeinen die Lösung der Differentialgleichung für viele verschiedene Parametersätze nötig. Für die Parameteridentifizierung ist es daher wünschenswert die Rechenzeit der numerischen Integration zu reduzieren. Da die algebraischen Gleichungen aus Kapitel 3 ebenfalls von den unbekannten Parametern abhängen, ist es nicht möglich die Differentialgleichung für alle möglichen Parametersätze durch eine reduzierte Differentialgleichung zu ersetzen. Allerdings können die zusätzlichen Informationen aus der Annahme eines partiellen Gleichgewichts oder eines quasi-stationären Zustands benutzt werden, um einige unbekannte Parameter vorab in Abhängigkeit der anderen Parameter zu berechnen. Dadurch wird der Aufwand der Parameteridentifizierung verringert. Das betreffende Vorgehen wird in Kapitel 5 beschrieben. Der Einfachheit halber werden in den Kapiteln 3 bis 5 gewöhnliche Differentialgleichungen betrachtet. Jedoch werden viele chemische Reaktionssysteme, die nicht homogen im Ort sind, durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Splitting-Verfahren können verwendet werden, um die erzielten Ergebnisse auf partielle Differentialgleichungen übertragen zu können. Bei Splitting-Verfahren werden abwechselnd partielle Differentialgleichungen für den Transport und gewöhnliche Differentialgleichungen für die chemischen Reaktionsterme betrachtet. Allerdings wird ein zusätzlicher Splitting-Fehler eingeführt. Dieser hängt von dem Splittingzeitschritt ab. Beliebte Splitting Methoden sind das Lie-Trotter Splitting mit Ordnung 1 und das Strang Splitting mit Ordnung 2 . Ordnungsreduktion kann jedoch im Falle des Strang Splittings durch die Steifheit der betrachteten Systeme auftreten. Im Gegensatz dazu hat das extrapolierte Lie-Trotter Splitting auch für steife Reaktionssysteme mit langsamem Transport Ordnung 2 . Eine Analyse des extrapolierten Lie-Trotter Splittings für chemische Reaktionssysteme befindet sich in Kapitel 6.
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